LEZIONI SVOLTE



3/10/08 Relazioni, relazioni di equivalenza e insieme quoziente, relazioni d'ordine (parziale e totale), def di maggioranti, massimi e sup, minoranti, ecc., funzioni.

6/10/08 Funzioni iniettive e suriettive, funzioni invertibili. Costruzione dei numeri interi e razionali. Proprieta' di campo ordinato dei razionali. Radice quadrata di 2 non sta in Q (dimostrazione)

7/10/08 Costruzione dei reali (con le sezioni di Dedekind). Proprieta' di campo ordinato e completo di R, densita' di Q in R, R e' archimedeo (tutto senza dimostrazione), enunciato del teorema dell'essenziale unicita' di R come campo ordinato completo. Costruzione di C, C e' un campo non ordinato algebricamente chiuso, forma algebrica e trigonometrica dei numeri complessi. Formula per la moltiplicazione di due numeri complessi in forma trigonometrica.

10/10/08 Elementi di topologia: distanza, intorni, insiemi aperti e chiusi, punti di accumulazione e punti isolati. Succesioni: definizione, limite di una successione, teorema di unicita' del limite.

13/10/08 Succesioni divergenti, succesioni limitate, operazioni con i limiti, forme indeterminate, succesioni monotone, le succesioni monotone sono convergenti, teorema del confronto, alcuni limiti elementari, definizione del numero e.

14/10/08 Funzioni reali di variabile reale: dominio, limitatezza, sup e inf, massimi e minimi assoluti e relativi, funzioni monotone, funzioni pari e dispari. Definizione di limite di una funzione in un punto di accumulazione del dominio: vari casi.

17/10/08 Teorema di unicita' del limite (dimostrazione). Limite destro e limite sinistro, esempi di verifica del limite. Teorema della permanenza del segno (dimostrazione).

20/10/08 Teorema del confronto (dimostrazione). Limite notevole senx/x per x->0. Limiti di funzioni monotone (dimostrazione). Definizione di funzione continua, funzione continua a destra e a sinistra. Somme, differenze, prodotti e quozienti di funzioni continue.

21/10/08 Proprieta' fondamentali delle funzioni continue: composizione di funzioni continue (dimostrazione); teorema della permanenza del segno; teorema degli zeri (dimostrazione); teorema "dei valori intermedi" (dimostrazione); teorema di Weierstrass sull'esistenza di massimo e minimo; esempi.

24/10/08 Lezione sospesa per Assemblea generale di Ateneo.

27/10/08 Continuita' delle inverse delle funzioni continue; funzioni continue elementari: funzioni polinomiali, funzioni razionali fratte, funzioni algebriche, funzioni esponenziali, funzioni logaritmiche, funzioni trigonometriche.

28/10/08 Non esiste il limite per x che tende a 0 di sen(1/x): dimostrazione. Punti di discontinuita' di una funzione: discontinuita' di prima e seconda specie, discontinuita' eliminabile. Esercizi.

31/10/08 Derivate: definizione, esempio di velocita' media e velocita' istantanea, significato geometrico della derivata. Operazioni con le derivate: somma, prodotto e quoziente. Derivata della funzione composta. Derivata della funzione logaritmo.

3/11/08 Derivata della funzione inversa. Derivate delle funzioni elmentari: logaritmo, esponenziale, potenze e radici, sen, cos, tang, senh, cosh, arcsen, arccos, acrtg. Esempi di calcolo delle derivate.

4/11/08 Teoremi sulle derivate: teorema di Fermat, teorema di Rolle, teorema del valor medio (Lagrange), teorema di Cauchy, teorema sulle funzioni monotone e il segno della derivata, teorema di de L'Hopital.

7/11/08 Esercizi sul teorema di de L'Hopital. Esercizi su funzioni definite a tratti e dipendenti da parametri in cui si chiede di dterminare i parametri in modo tale che la funzione risulti continua, derivabile o con derivata continua.

10/11/08 Derivate di ordine superiore. Studio del grafico di una funzione: dominio; parita', disparita', periodicita'; limiti agli estremi del dominio, asintoti; segno e intersezioni con gli assi; segno della derivata prima: massmi e minimi; segno della derivata seconda: convessita', concavita', flessi. Esempi.

11/11/08 Risoluzione numerica di una equazione: metodo di bisezione, metodo di Raphson-Newton.

14/11/08 Esercizi.

17/11/08 Punti angolosi e cuspidi. Esempi.

18/11/08 Integrazione secondo Riemann: definizione di funzione integabrile, teorema sull'integrabilita' delle funzioni limitate (senza dimostrazione), proprieta' elementari dell'integrale definito. Primitiva di una funzione. Teorema fondamentale del calcolo integrale.

24/11/08 Integrali elementari. Integrazione per sostituzione, integrazione per parti. Teorema fondamentale dell'integrale definito.

25/11/08 Integrazione delle funzioni razionali fratte.

28/11/08 Applicazioni geometriche dell'integrale definito: calcolo di aree, lunghezza del grafico di una funzione.

1/12/08 Applicazioni geometriche dell'integrale definito: calcolo di aree in coordinate polari, calcolo del volume dei solidi di rotazione.

2/12/08 Integrali impropri: definizioni. caso di funzione non limitata su un intervallo limitato, caso di intervallo illimitato. Convergenza e divergenza. Esempio: integrale improprio di x^-a. Teorema del confronto. Esempi.

4/12/08 Esercizi.

5/12/08 Serie numeriche: definizione, ridotte e resto ennesimo, serie convergenti, divergenti, indeterminate. Serie geometrica. Proprieta' generali. Serie a termini non negativi: una condizione necessaria e sufficiente per la convergenza, teorema del confronto, teorema del criterio integrale. Serie armonica.

9/12/08 Serie numeriche: criterio del rapporto (con dimostrazione), criterio della radice (senza dimostrazione), esempi.

12/12/08 Convergenza assoluta. Critrerio di Leibniz per le serie a termini di segno alterno. 15/12/08 Metodi di approssimazione della somma di una serie numerica.

16/12/08 Successioni e serie di funzioni: definizione, convergenza puntuale, funzione limite e funzione somma. Serie di potenze, raggio di convergenza, determinazione del raggio di convergenza, proprieta' della somma di una serie di potenze e formula di Maclaurin (tutto senza dimostrazione).

19/12/08 Formula di Taylor.

22/12/08 Esercizi.