lun 3/10
Introduzione al corso. Potenziale gravitazionale. Equazione di
Laplace e di Poisson. Equazione di bilancio. PDE ed esempi.
mer 5/10
Multiindici. Equazioni quasilineari, semilineari, lineari.
Equazioni del secondo ordine semilineari: equazioni ellittiche,
paraboliche, iperboliche. Teorema di Cauchy-Kovalevskaya (senza
dimostrazione).
lun 10/10
Varietà caratteristiche. Compatibilità dei dati. Buona posizione nel
senso di Hadamard. Aggiunto formale. Operatori autoaggiunti.
mer 12/10
Introduzione alle distribuzioni. Spazi test e nozioni di
convergenze. Funzioni di Schwartz. Supporto di una
distribuzione. Distribuzioni a supporto compatto. Distribuzioni
regolari.
lun 17/10
Funzioni a crescita lenta. Distribuzioni singolari. Delta di Dirac e
suo supporto. Derivata di una distribuzione. Derivata della funzione
di Heaviside.
mer 19/10
Convoluzione di funzioni. Prodotto tensoriale di funzioni e di
distribuzioni. Convoluzione di distribuzioni. Moltiplicazione per
una funzione liscia. Convoluzione con la delta di Dirac. Soluzioni
generalizzate.
lun 24/10
Soluzione fondamentale e sua molteplicità. Teorema fondamentale
della soluzione fondamentale. Teorema di unicità. Soluzione
fondamentale per equazioni lineari ordinarie. Esempi. Formula di
Gauss-Green. Formula di Green nel caso del laplaciano.
mer 26/10
Soluzione fondamentale del laplaciano. Distribuzioni di strato
semplice e di doppio strato. Potenziali di volume, strato semplice,
doppio strato.
mer 2/11
Formula dei potenziali con dimostrazione. Funzioni armoniche. Teoremi
del valor medio. Teorema inverso del valor medio.
lun 7/11
Principio del massimo. Principio del massimo in forma forte. Unicità
per il problema di Dirichlet e di Neumann interno ed esterno.
lun 14/11
Dipendenza continua dai dati al bordo. Problema misto. Sovrapposizione
degli effetti. Funzione di Green. Simmetria della funzione di Green.
mer 16/11
Soluzione del problema di Dirichlet mediante la funzione di Green.
Funzione di Green per la sfera e nucleo di Poisson (senza
dimostrazione). Trasformata di Fourier di funzioni L^1. Trasformata
di una convoluzione. Legame tra trasformata e derivata.
gio 17/11
Trasformata nello spazio di Schwartz. Trasformata della funzione
caratteristica di un intervallo. Trasformata della gaussiana.
Antitrasformata. Trasformata di distribuzioni temperate. Trasformata
della delta di Dirac.
lun 21/11
Trasformata di una soluzione fondamentale. Soluzione fondamentale per
l'operatore del calore e sue proprietà. Il problema ai valori iniziali
per l'equazione del calore.
mer 23/11
Soluzione del problema ai valori iniziali per l'equazione del
calore. Il problema misto per l'equazione del calore: principio del
massimo e del minimo.
lun 28/11
Teorema di unicità e stabilità per il problema misto dell'equazione del calore.
Metodo di Fourier. Autovalori del laplaciano e autofunzioni.
mer 30/11
Problema agli autovalori per il laplaciano: caso unidimensionale, caso
del rettangolo. Il caso del cerchio: equazione di Bessel. Autovalore minimo.
lun 5/12
Spazi di Sobolev. Tracce in spazi di Sobolev. Riformulazione del
problema di Dirichlet negli spazi di Sobolev. Disuguaglianza di
Poincaré (senza dimostrazione). Teorema di esistenza e unicità nel
caso omogeneo.
mer 7/12
Esistenza per il problema di Dirichlet non omogeneo. Teoria spettrale
per operatori compatti. Teorema sugli autovalori per operatori
compatti e autoaggiunti.
lun 12/12
Operatore inverso del laplaciano. Soluzione fondamentale
dell'operatore delle onde. Proprietà della soluzione fondamentale
dell'operatore delle onde.