P.G. Ciarlet, Mathematical Elasticity, Vol. I: Three-Dimensional
Elasticity, North-Holland, Amsterdam, 1988
B. Dacorogna, Direct methods in the calculus of variations, Second
edition, Springer, 2008
H. Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations,
Springer, 2011.
Diario delle lezioni
Lezione del 3 ottobre 2023
Introduzione al calcolo delle variazioni. Punti critici. Lemma di
DuBois-Reymond.
Lezione del 4 ottobre 2023
Equazioni di Eulero-Lagrange. Conservazione
dell'hamiltoniana. Esempio: superficie minima di rivoluzione.
Esempio della brachistocrona.
Lezione del 10 ottobre 2023
Equazioni di Eulero-Lagrange nel caso multidimensionale. Esempi di
laplaciano e p-laplaciano, equazione di Navier. Introduzione
all'elasticità. Problema misto dell'elasticità lineare.
Lezione dell'11 ottobre 2023
Energia di deformazione. Spostamenti rigidi infinitesimi. Elementi
di calcolo tensoriale. Principio di minimo dell'energia potenziale.
Lezione del 17 ottobre 2023
Inverso del principio di minimo. Mancanza di esistenza nei problemi
variazionali. Compattezza in dimensione infinita. Convergenza debole
e spazi riflessivi.
Lezione del 18 ottobre 2023
Spazi di Lebesgue. Esempi di convergenza debole in spazi di
Lebesgue. Riflessività. Spazi di Sobolev.
Lezione del 24 ottobre 2023
Spazi di Sobolev con condizioni al contorno. Disuguaglianza di
Poincaré. Immersioni di Sobolev, Rellich, Morrey. Metodo diretto del
calcolo delle variazioni.
Lezione del 25 ottobre 2023
Funzioni semicontinue inferiormente, convesse e
proprietà. Semicontinuità debole e convessità. Teorema sulla wlsc
nel caso convesso. Disuguaglianza di Jensen. Coercitività. Esistenza
del minimo col metodo diretto.
Lezione del 31 ottobre 2023
Convessità stretta e unicità. Ipotesi sugli integrandi: funzioni di
Carathéodory e convessità nei gradienti. Esempi con laplaciano e p-laplaciano.
Lezione del 7 novembre 2023
Disuguaglianza di Korn nel caso omogeneo. Disuguaglianza di Korn nel
caso generale (solo enunciato). Disuguaglianza di Korn per il
problema misto. Teorema di esistenza dei minimi per il problema
misto dell'elasticità lineare.
Lezione dell'8 novembre 2023
Il caso non omogeneo. Semicontinuità debole nel caso dipendente sia
dalla funzione che dal suo gradiente (solo enunciato). Breve ripasso
di cinematica dei continui. Iniettività della deformazione. Materiali iperelastici.
Lezione del 14 novembre 2023
Indifferenza materiale e non degenericità. Mancanza di convessità
del potenziale per materiali iperelastici. Materiali
isotropi. Invarianti e valori singolari.
Lezione del 15 novembre 2023
Materiali ortotropi. Materiali trasversalmente isotropi. Materiali
di Ogden. Matrice dei cofattori. Materiali di
Mooney-Rivlin. Materiali neo-Hookeani e loro tensore degli sforzi.
Lezione del 21 novembre 2023
Deformazione di un cubo incomprimibile. Definizione e prime proprietà della quasiconvessità.
Lezione del 22 novembre 2023
Quasiconvessità e debole inferiore semicontinuità. Relazione tra
quasiconvessità e convessità. Esempio di funzione quasiconvessa ma
non convessa. Convessità di rango uno.
Lezione del 28 novembre 2023
Condizioni di Legendre-Hadamard e relazione con la quasiconvessità.
Divergenza nulla del cofattore di un gradiente.
Lezione del 29 novembre 2023
Determinante del gradiente. Definizione di funzione policonvessa.
Esempi di funzioni policonvesse. Implicazioni tra i vari tipi di
convessità.
Lezione del 5 dicembre 2023
Lemma tipo Poincaré. Lemma sui cofattori. Enunciato del Teorema di
John Ball e prima parte della dimostrazione.
Lezione del 6 dicembre 2023
Conclusione della dimostrazione del Teorema di John
Ball. Policonvessità e coercitività dei materiali di Ogden.
Lezione del 12 dicembre 2023
Materiali di St. Venant-Kirchhoff. Teorema di inversione
locale. Esistenza di soluzioni per dati piccoli.