Alcuni risultati degli esercizi dai temi d'esame
(in ordine sparso)
Diario delle lezioni
Lezione del 28 febbraio 2024
Modelli epidemiologici. Modello SIS. Modello SIR.
Lezione del 6 marzo 2024
Orbite nel piano delle fasi per il modello SIR. Picco massimo dei
contagi. Sistemi di equazioni differenziali ordinarie del primo
ordine. Riduzione al primo ordine. Sistemi autonomi. Esempio di
soluzione non unica: pennello di Peano. Esempio di soluzione non
globale. Esistenza di soluzioni globali.
Lezione dell'8 marzo 2024
Orbite e traiettorie. Spazio delle fasi e ritratto di
fase. Esempi. Traslazione temporale nei sistemi autonomi. Semigruppo
associato a un sistema differenziale con esempi. Proprietà di un
semigruppo. Esempi. Semigruppi invertibili. Costruzione di un sistema
differenziale a partire da un semigruppo.
Lezione del 12 marzo 2024
Processi e loro proprietà. Esempio unidimensionale.
Sistemi topologicamente equivalenti ed esistenza globale.
Esponenziale di matrice e proprietà. Soluzione dei sistemi lineari a
coefficienti costanti.
Lezione del 13 marzo 2024
Sistemi lineari non omogenei. Discussione sul caso lineare a
coefficienti non costanti. Forma canonica di Jordan
(cenni). Esponenziale dei blocchi di Jordan. Esponenziale di matrice
nel caso 2x2. Il caso complesso. Casistica nel piano delle fasi
per un sistema 2x2: nodi stabili e instabili.
Lezione del 20 marzo 2024
Selle, fuochi, centri. Casi degeneri per un sistema 2x2. Smorzatore
lineare. Teorema tau-delta. Soluzioni di equilibrio. Stabilità
secondo Ljapunov. Stabilità asintotica, globale, esponenziale.
Lezione del 22 marzo 2024
Teorema sulla stabilità dei sistemi lineari. Esempi del quarto ordine.
Regola di Cartesio. Matrice di Hurwitz. Criterio di Routh-Hurwitz.
Criterio di Liénard-Chipart. Condizione necessaria sul segno dei
coefficienti.
Lezione del 26 marzo 2024
Esempio di equilibrio instabile che attrae puntualmente un suo
intorno. Esempio dell'oscillatore armonico smorzato e forzato.
Stabilità dei sistemi non lineari: Teorema di
linearizzazione e dimostrazione della prima parte.
Lezione del 27 marzo 2024
Dimostrazione della seconda parte del teorema di
linearizzazione. Esempio del pendolo semplice. Posizione iperbolica. Funzione di
Ljapunov: definizione e sua generalizzazione. Teorema di Ljapunov
sulla stabilità. Applicazione al pendolo semplice. Il caso di funzione
di Ljapunov conservata sulle traiettorie.
Lezione del 10 aprile 2024
Teorema di Ljapunov sulla stabilità asintotica. Bacino di attrazione.
Teorema sull'instabilità sorgente. Teorema di Cetaev sull'instabilità
(solo enunciato). Controesempio alla linearizzazione.
Lezione del 12 aprile 2024
Esercizi da temi d'esame sulla funzione di Ljapunov e sul metodo di
linearizzazione. Metodo delle isocline.
Lezione del 17 aprile 2024
Modelli di dinamica della popolazione. Tasso di riproduzione. Modello di Malthus. Modello
logistico continuo. Modelli generali a una specie. Modelli preda-predatore.
Lezione del 19 aprile 2024
Modello di Lotka-Volterra: equilibri e stabilità, funzione di
Ljapunov, forma delle orbite, periodo e numero medio. Problema del
pescatore. Modello logistico preda-predatore.
Lezione del 23 aprile 2024
Modello di Gomatam. Commensalismo, mutualismo, competizione. Modelli
economici a domanda e offerta: modello lineare e quadratico. Modello
ad aspettativa del prezzo.
Lezione del 24 aprile 2024
Modelli di crescita economica. Diagramma di biforcazione.
Classificazione delle biforcazioni nel caso unidimensionale (a sella,
transcritica, a forca). Cenno alla biforcazione di Hopf.