Frecce e aquiloni nel cielo della matematica
La tassellazione di Penrose
(http://frecceaquiloni.dmf.unicatt.it/)
A. Musesti - M. Paolini
Dipartimento di Matematica e Fisica
Università Cattolica - Brescia
Realizzato con www.povray.org
La tassellazione di Penrose è un modo NON PERIODICO per riempire il piano
utilizzando due forme: AQUILONE (piastrelle chiare) e FRECCIA (piastrelle colorate)
In verità la peculiarità di questa tassellazione sta nella proprietà di
APERIODICITA' delle due forme: con esse NON E' POSSIBILE costruire riempimenti PERIODICI
Vedremo in seguito cosa si intende per TASSELLAZIONE PERIODICA
e dovremo introdurre dei VINCOLI DI ACCOSTAMENTO
per garantire la proprietà di aperiodicità
costruzione di 'freccia' e 'aquilone'
I due tasselli 'aquilone' e 'freccia' si possono ottenere a partire da un
decagono regolare di lato 1 e raggio 1,618 circa (rapporto aureo)
secondo la costruzione descritta nell'animazione
curioso: incontriamo l'onnipresente RAPPORTO AUREO
questa è la FRECCIA
e questo è l'AQUILONE
tassellazione periodica
E' piuttosto facile immaginare un modo per riempire il piano con le due piastrelle:
per come sono state costruite, queste si possono accostare
in modo da formare un rombo (di lato 1,618...)
Però in questo modo si ottiene un riempimento PERIODICO
si possono infatti 'traslare' le piastrelle in varie direzioni, come mostra l'animazione,
ottenendo un risultato indistinguibile dalla situazione iniziale
Per avere una tassellazione PERIODICA ci vogliono almeno due traslazioni in direzioni diverse
con tale proprietà di invarianza
Ci sono altre simmetrie per una tassellazione fatta di rombi, come le rotazioni di 180 gradi
Queste però non corrispondono a simmetrie della nostra tassellazione periodica
e infatti i colori si posizionano diversamente, e non riproducono più la disposizione iniziale
Attenzione: le simmetrie devono coinvolgere TUTTA la tassellazione, non singole piastrelle
Per questa tassellazione otteniamo il gruppo di simmetrie che i cristallografi chiamano "cm".
Si possono ottenere tutte le (infinite) simmetrie combinando due traslazioni
ed una riflessione rispetto ad una retta verticale
Altre scelte dei "generatori" sono beninteso possibili
La rotazione di 180 gradi rispetto ad un rombo invece non va bene!
A meno che non si consideri una tassellazione fatta di soli rombi,
ottenendo il gruppo di simmetrie "cmm"
imposizione dei vincoli di accostamento
Per impedire questa soluzione periodica possiamo sagomare le piastrelle come le tessere di un puzzle
come mostrato nell'animazione
D'ora in avanti immagineremo sempre le piastrelle dotate di tali vincoli, anche quando non visualizzati
proviamo... e riproviamo
Ora non è più possibile accostare l'aquilone e la freccia per formare un rombo,
tuttavia sembra ancora possibile riempire (per tentativi) il piano
Ma siamo sicuri che sia VERAMENTE possibile riempire tutto senza lasciare interstizi?
Il procedimento che descriveremo fornirà un modo operativo per farlo
piastrelle spezzate
La prima operazione consiste nel ROMPERE le piastrelle in modo da formare due triangoli isosceli
AQUILONE: due triangoli isosceli acuti
FRECCIA: due triangoli isosceli ottusi
triangoli aurei
L'animazione mostra che i triangoli ottenuti hanno i lati che stanno tra loro nel rapporto AUREO
Triangoli acuti (aquilone): base = 1, lato = 1,618...
Triangoli ottusi (freccia): lato = 1, base = 1,618...
suddivisione
L'idea è di suddividere i pezzi triangolari in copie più piccole di loro stessi
Triangoli acuti: due triangoli acuti e un triangolo ottuso
Triangoli ottusi: un triangolo ottuso e uno acuto
deflazione inflazione
Mettiamo in pratica il procedimento...
Si inizia con una qualsiasi disposizione iniziale (assioma),
ad esempio un decagono con 5 aquiloni
Ora si applica il processo di suddivisione su ogni triangolo ottenendo una suddivisione più fitta
Osserviamo che i nuovi triangoli si dispongono in modo da ricomporre frecce ed aquiloni
Infine rigonfiamo tutto in modo da avere piastrelle della dimensione originale
e ripetiamo il procedimento una seconda volta
Ora ci sono anche alcuni triangoli ottusi da suddividere
I vincoli di accostamento tra i tasselli risultano rispettati da questo procedimento
Di nuovo rigonfiamo tutto per avere piastrelle della dimensione iniziale
Terza iterazione...
Quarta...
Si è formato un decagono centrale uguale alla configurazione da cui siamo partiti!
Quinta iterazione...
Sesta...
Settima...
Ottava...
Possiamo continuare indefinitamente piastrellando un'area sempre più estesa
Ecco il risultato dopo nove iterazioni
Abbiamo in definitiva un procedimento per tassellare tutto il piano (rispettando i vincoli)
simmetrie della tassellazione
A causa della scelta iniziale (decagono con 5 aquiloni) la piastrellatura risultante
sarà dotata di simmetrie rotazionali (rotazioni di 72 gradi)
e anche di simmetrie assiali (riflessioni rispetto a cinque rette passanti per il centro)
come suggeriscono alcuni dei movimenti che vedete
Ci sono esattamente 10 simmetrie, che insieme formano il gruppo diedrale "D5" (simmetrie di un pentagono)
Questo gruppo può essere generato da una rotazione di 72 gradi...
...e da una riflessione rispetto ad una retta opportuna per il centro
uccelli... e rettili
Possiamo deformare un po' il contorno di FRECCIA e AQUILONE in modo da ottenere forme di fantasia
sullo stile dei disegni di Escher
Utilizziamo le nuove forme per riempire il piano...
Il risultato è comunque strutturalmente lo stesso della tassellazione con FRECCE ed AQUILONI
Ecco il risultato dopo cinque iterazioni della tecnica di deflazione/inflazione
rombi grassi, rombi magri
Una alternativa interessante è invece costituita da due rombi diversi scelti opportunamente
C'è comunque una stretta parentela con Freccia e Aquilone, come mostrato nell'animazione
I rombi saranno spezzati in due triangoli isosceli
uguali, a parte la proporzione, a quelli già incontrati
Si può definire un procedimento di deflazione/inflazione basato su una opportuna suddivisione dei triangoli aurei
analoga a quella utilizzata per Freccia e Aquilone
Dopo sei iterazioni del nuovo procedimento di deflazione/inflazione
a partire da una opportuna configurazione iniziale
otteniamo questa tassellazione in rombi...
la tassellazione originale di Penrose
Roger Penrose ha provato a suddividere un grosso pentagono in 6 pentagoni più piccoli
di lato pari al quadrato del rapporto aureo rispetto al pentagono grande
Iterando il suo procedimento un po' di volte rimangono degli interstizi
Alcuni di questi hanno forma pentagonale, e quindi verranno inclusi nel procedimento di suddivisione,
altri invece richiedono forme diverse per essere riempiti: rombo, corona e stella
I tre colori utilizzati per i pentagoni servono a distinguere i vincoli di accostamento
che costringono ad ottenere una tassellazione non periodica.
In questo modo si ottiene un insieme di 6 tasselli che verificano la proprietà di aperiodicità
A tutt'oggi non è noto se ci sia una singola piastrella per cui esistano solo tassellazioni non periodiche!
Frecce e aquiloni nel cielo della matematica
Nel 1974 Roger Penrose ha ideato le affascinanti tassellazioni che da lui prendono il nome
In esse si mescolano matematica, geometria, fisica e arte in un intreccio sorprendente
La realizzazione di questa breve animazione è stata una sfida impegnativa ma divertente.