Leonardo da Vinci

Trovare la forma che assume una cordicella sospesa agli estremi; questa forma viene chiamata catenaria

ESPERIMENTO (mpeg)

Esperimento ideale:

cordicella infinitamente sottile
flessibile
inestensibile
campo gravitazionale costante

Galileo Galilei

Dice che la soluzione è una parabola... ma sbaglia!

Johann Bernoulli

Trova la soluzione corretta (1691):

u(x) = c cosh x/c

dove "cosh" indica il coseno iperbolico:

cosh x = (e^x + e^-x)/2,

insieme all'altra funzione iperbolica

sinh x = (e^x - e^-x)/2

verifica alcune interessanti proprietà:

cosh² x - sinh² x = 1
D cosh x = sinh x
D sinh x = cosh x

Eulero

Nel 1736 nasce il calcolo delle variazioni

Problema di ottimizzazione

IDEA: La configurazione di equilibrio u di una pallina in una scodella è quella di energia (potenziale) minima E(u) = m g h(u). Quindi trovare la soluzione equivale a ottimizzare E(u)

Una catenaria discreta

Una versione semplificata del problema della catenaria: cerco la configurazione di equilibrio di un sistema di tre aste incernierate con A e B fissati.

E(u) = mg [h(T₁) + h(T₂) + h(T₃)]

Voglio posizionare P e Q in modo che E(u) sia minima!

Prendendo tante aste ottengo l'energia nel caso continuo

C'è però da aggiungere il vincolo dell'inestensibilità |u'(s)| = 1 che rende la questione più complicata (ricerca di un minimo vincolato: equazione di Eulero-Lagrange + metodo dei moltiplicatori di Lagrange)