From paolini Tue Jan 14 12:16:01 1997 To: ngbellia@flashnet.it Subject: Re: equazioni di grado n Egregio Signor Bellia, Mi permetta di ribattere alla sua risposta. Lo faccio punto per punto, utilizzando argomenti matematici, e non la mia autorita'. Premetto anzitutto che non mi sento AFFATTO Maestro, ne tantomeno Professore, e spero proprio vivamente di non aver dato tale impressione nella mia E-mail, ne' nella pagina internet, ne nella lettera a Famiglia Cristiana. Piuttosto mi sento SERVITORE della scienza (oserei dire della Sapienza, come si qualificava Ennio de Giorgi, i cui scritti sono veramente un insegnamento per tutti). Vede, il tono forse acceso con cui rispondo a lei deriva proprio dal fatto che ho molta fiducia nella Scienza (e nella Matematica in particolare), e dico Scienza, non scienziati, che a volte sono dei maltrattatori della Scienza. Credo comunque fermamente che sia nella E-mail che Le ho mandato, sia nella lettera spedita a Famiglia Cristiana, il mio punto di vista non si appoggia sull'autorita' ne mia ne' della scienza ("ipse dixit"), ma proprio sulla forza degli argomenti. E naturalmente mi permetto di correggere i Suoi argomenti, dove ritengo (con umilta') che Lei sbagli. Ritengo comunque che pure Lei dovrebbe fare uno sforzo per cercare di capire gli argomenti altrui, senza rigettarli attribuendoli erroneamente ad un esercizio di autorita'. E vengo ad alcuni commenti dulla Sua risposta: > NON SONO LE SINGOLE TRASLAZIONI CHE GARANTISCONO L'ESATTEZZA DEI > RISULTATI > MA L'ULTIMA, CHE ANNULLANDO IL TERMINE NOTO, SOMMATA ALLE ALTRE DA' NON > SOLO LA RADICE ESATTA, MA ANCHE LA RIDOTTA ESATTA. (Come indicato più > avanti.) > Corregga questa Sua idea sbagliata! Vede, quando lei calcola una traslazione, in effetti calcola i coefficienti di un nuovo polinomio, con le stesse radici del primo, ma traslate. Nel calcolo dei nuovi coefficienti si introducono degli errori di calcolo, e di conseguenza il nuovo polinomio avra' radici solo APPROSSIMATIVAMENTE traslate di k rispetto al polinomio originario. Di conseguenza la radice zero dell'ultimo polinomio, con termine noto nullo, ha (si') zero come radice esatta, ma questa e' solo APPROSSIMATIVAMENTE, la somma delle traslazioni a partire dalla radice corrispondente dell'equazione originaria, quella che si vuole risolvere. Quindi intendo la sua affermazione nel seguente senso: "L'ULTIMA traslata ha per soluzione esatta zero e da' la ridotta esatta dell'ULTIMA traslata". E, ripeto, questo non fornisce alcuna indicazione sull'errore che si commette approssimando la radice che si cerca con la somma delle traslazioni. Corregga questa Sua idea sbagliata! I matematici sono soliti poi fornire Dimostrazioni rigorose delle proprie affermazioni. > Proprio in questo consiste l'importanza del mio algoritmo. (riferendosi alla "esattezza" della riduzione). Naturalmente questa affermazione perde di significato se la ridotta non e' piu' esatta. > Sarebbe stato bene precisare Che Bellia nella prima pagina del suo sito > dice: "Algoritmo per il calcolo delle radici reali delle equazioni di > grado "n" > 1.", e che mai si è contrapposto ad Abel o a Galois, grandi > perché morti e maltrattati certamente in vita. (riferendosi credo alla mia lettera a Famiglia Cristiana). Nella mia risposta a Famiglia Cristiana mi riferisco naturalmente al testo dell'articolo, e a quello che un lettore generico puo' essere indotto a pensare leggendolo. Lei non puo' negare che dal testo dell'articolo si e' indotti ad evincere che Lei e' riuscito dove hanno fallito illustri matematici del passato. Cito testualmente dall'articolo: "e sostiene di avere sbaragliato i migliori cervelli che nei secoli si sono arrovellati intorno a questo interrogativo". Puo' essere colpa della giornalista, non dico di no, in effetti la lettera al Direttore di Famiglia Cristiana critica in modo particolare il modo con cui la stampa si pone di fronte a questioni riguardanti la Matematica. > "la convergenza dell'algoritmo di Bellia (come d'altra parte anche del > metodo > di Newton) non e' garantita, come si puo' verificare ad esempio > prendendo l'equazione x^5 - x - 1 = 0, la cui unica soluzione reale non > viene trovata dal programma di Bellia." > [estratto dalla mia lettera a F.C.] > > L'ultima Sua osservazione è palesemente non vera e Lei, senza avere > evidentemente capito il mio algoritmo, la sostiene con l'argomento > non matematico della defaillance del programma. Perche' dice "non vera"? Lei mi ha gentilmente fornito il Suo programma, e con il Suo programma non sono riuscito a trovare la soluzione di tale equazione. Non solo, mi sono anche basato sul testo da Lei fornitomi del suo algoritmo, che penso proprio di aver capito... Il motivo per cui il suo algoritmo fallisce in quel caso e' anche spiegato un po' piu' dettagliatamente alla pagina che spero Lei abbia letto. Lei pensa di aggirare il problema cosi': > Semplicemente facendo una o più traslazioni, di valore ad es. k = 1 fino > a che i coefficienti divengano "non nulli" e poi sommando tali valori di k > agli altri k trovati. Lei sa bene che questo e' solo un palliativo, e che ci sara' sempre la possibilita' che esistano equazioni che nemmeno cosi' verranno risolte. Sara' solo piu' difficile trovarli. Non si vuole un algoritmo che "probabilmente" funziona, ma un algoritmo che, eventualmente sotto opportune ipotesi chiaramente specificate, "sicuramente" funziona. Invece di fare continue modifiche al suo algoritmo, dovrebbe chiedersi il vero motivo per cui non funziona in certi casi. > Resta peraltro la Sua affermazione, da Professore di Matematica, che la > convergenza del metodo di Newton non è garantita. > > Siccome con il mio algoritmo ad ogni ciclo ci si arresta quando il > termine noto è divenuto nullo, la "ridotta" ricavata è tale che > moltiplicata per (x - x1) dà esattamente l'equazione originaria e > quindi, > tale ridotta, non porta in sé alcun errore.(C.V.D.) > Lei deve correggere questo Suo errore di valutazione oppure > dimostrarmelo con > i numeri alla mano o in altro modo matematico. Lei qui fa confusione tra due questioni ben distinte: "la convergenza del metodo di Newton non e' garantita" significa che, anche se si lavorasse in aritmetica esatta (cioe' senza gli errori di arrotondamento dei computer), la successione infinita x_0, x_1,... delle iterate puo' non convergere ad una soluzione dell'equazione. E' proprio quello che succede nel caso di x^5 - x - 1 = 0. Lei parla invece dell'errore finale (in caso di convergenza, beninteso), e si applicano le considerazioni gia fatte in precedenza in questa mail. > Buona fede vorrebbe che Lei dissipasse dalla mente del Direttore di Famiglia > Cristiana il dubbio che Bellia sia un pressapochista, cosa che verrà smentita > dall'evoluzione della questione, dato che non sono minimamente influenzabile > da attacchi emotivi, più che scientifici. Il fatto e' che io penso prorio che lei sia un pressapochista, certo posso sbagliarmi, ma non credo che la cosa verra' smentita dall'evoluzione della questione. > Si ricordi, Professore, che non esiste la Scienza autoritaria ma singoli > Esseri Umani che con le loro ricerche, umilmente, creano il tessuto > culturale dell'Umanità. Sono perfettamente d'accordo, comunque continuerei dicendo che quei singoli Esseri Umani dovrebbero anche tenere conto (in modo critico) di cosa hanno fatto gli Esseri Umani che li hanno preceduti. Colgo l'occasione per consigliarle un testo di Analisi Numerica, ce ne sono tanti, ad esempio: V. Comincioli, Analisi Numerica, Metodi Modelli Applicazioni, McGraw Hill, Milano (1990). Se vuole essere convincente, dovra' ribattere "dall'interno", cioe' conoscendo quello che gia esiste nel campo delle soluzioni approssimate di equazioni. Anche questi testi fanno parte del patrimonio culturale dell'Umanita'. > La Scienza appartiene solo a Colui che ha creato il Tutto e che ci ha > ammonito a non chiamarci Maestri (e tantomeno Professori), in quanto > solo Lui è il Maestro. Rispondo con una citazione dalla Bibbia cara a De Giorgi: "La Sapienza ama chi la ama e si fa trovare da chi la cerca" (Prov. 8,17). > Chi crede di dover correggere, lo faccia con la forza degli argomenti e non > su base di una assurda presunta Autorità. Penso di averlo fatto. Cordiali saluti, Maurizio Paolini