Date: Wed, 15 Jan 1997 06:58:38 +0100 From: ngbellia@flashnet.it To: Maurizio Paolini Subject: Re: equazioni di grado n Egregio Professor Paolini. Con questa mail tento di dare una conclusione al dibattito. Il punto che interessa e' se le successive traslazioni introducano degli errori. In ogni traslazione, qualunque sia il valore di k, si ottiene una traslata con coefficienti esatti relativamente alla nuova posizione della funzione determinata da k. Qui non vi sono errori possibili in quanto vi e' una perfetta corrispondenza biunivoca tra k e i nuovi coefficienti. Visto che il mio obiettivo e' quello di portare la funzione a passare per l'origine degli assi, resta il problema di come ottenere cio'. Poiche' il negativo del rapporto tra il termine noto e il coefficiente dell'incognita di grado 0 determina un segmento il cui valore e' sicuramente compreso tra 0 e il valore della prima radice ne consegue che traslando di tale valore ottengo due cose: - avvicino la funzione all'origine degli assi; - non commetto errori. Ripeto il procedimento sulla traslata e ancora una volta avvicino la traslata all'origine degli assi ottenendo ancora una volta due cose: - avvicino la funzione all'origine degli assi; - non commetto errori. Vado avanti cosi' fino a che il termine noto dell'ultima traslata diventa nullo per il computer. (Se il computer avesse capacita' infinita questo processo non finirebbe mai.) Se, per assurda ipotesi, io commettessi degli errori nella determinazione di ciascuna k, l'ultima k correggerebbe gli eventuali errori delle precedenti giacche' il criterio di arresto e' la nullita' del termine noto. Tale fatto fondamentale mi permette di uscire indenne dalla circostanza casuale di incontrare denominatori di k nulli. Quando si verificasse tale circostanza sarebbe sufficiente fare una traslazione aggiuntiva di valore qualsiasi per saltare questo fosso. La somma algebrica di tutte le k mi da' la radice esatta e anche la traslata ultima con termine noto nullo, cioe' la ridotta. Infatti la somma algebrica delle k e' il percorso fatto fare alla funzione affinche' la sua prima radice vada a sovrapporsi allo 0 dell'asse delle x quindi e' il valore della prima radice. La ridotta moltiplicata per (x-x1) mi genera la funzione primaria. Come si vede non vi sono errori possibili. L'errore si potrebbe verificare se il computer sbagliasse le operazioni. Io credo che, dal punto di vista matematico non vi sia altro da dire ne' altro diro'. Per l'intelligenza di quanto detto sopra e' necessario conoscere il mio teorema sulle traslazioni, l'algoritmo e l'immagine di cui al file belliacc.doc nonche' la conoscenza delle derivate. Uno studente di liceo puo' capire il tutto. Concludo qui il nostro dibattito. Faccio soltanto alcune osservazioni nel corpo della Sua mail sotto riportata in cui finalmente ho capito che io mi sono sempre riferito all'algoritmo e lei al programma e ai computers. Grazie e cordiali saluti. Nicolo' Giudeppe Bellia Maurizio Paolini wrote: > > Egregio Signor Bellia, > > Mi permetta di ribattere alla sua risposta. Lo faccio punto per punto, > utilizzando argomenti matematici, e non la mia autorita'. > > Premetto anzitutto che non mi sento AFFATTO Maestro, ne tantomeno Professore, > e spero proprio vivamente di non aver dato tale impressione nella mia > E-mail, ne' nella pagina internet, ne nella lettera a Famiglia Cristiana. > > Piuttosto mi sento SERVITORE della scienza (oserei dire della Sapienza, > come si qualificava Ennio de Giorgi, i cui scritti sono veramente un > insegnamento per tutti). PER ESSERE SERVITORI DELLA SAPIENZA OCCORREREBBE AVERE UNA LINEA DIRETTA CON ESSA, PER RICEVERE GLI ORDINI DA ESEGUIRE. LA VERA SAPIENZA NON VUOLE SCHIAVI MA ESSERI LIBERI E RESPONSABILI. > > Vede, il tono forse acceso con cui rispondo a lei deriva proprio dal fatto > che ho molta fiducia nella Scienza (e nella Matematica in particolare), e > dico Scienza, non scienziati, che a volte sono dei maltrattatori della > Scienza. ALLA SCIENZA NON CI SI ACCOSTA CON FEDE MA CON COMPRENSIONE: A NULLA SERVE CREDERE SENZA CAPIRE O FAR CAPIRE. > > Credo comunque fermamente che sia nella E-mail che Le ho mandato, sia nella > lettera spedita a Famiglia Cristiana, il mio punto di vista non si > appoggia sull'autorita' ne mia ne' della scienza ("ipse dixit"), ma > proprio sulla forza degli argomenti. E naturalmente mi permetto di > correggere i Suoi argomenti, dove ritengo (con umilta') che Lei sbagli. LEI HA IL DIRITTO DI RITENERE CHE IO POSSA SBAGLIARE MA HA IL DOVERE DI ACCERTARE I PUNTI ERRATI. > Ritengo comunque che pure Lei dovrebbe fare uno sforzo per cercare di > capire gli argomenti altrui, senza rigettarli attribuendoli erroneamente > ad un esercizio di autorita'. QUI NON STIAMO TRATTANDO GLI ARGOMENTI ALTRUI MA DEL MIO ALGORITMO ED IO LO DIFENDO DA ERRATE INTERPRETAZIONI. > > E vengo ad alcuni commenti dulla Sua risposta: > > > NON SONO LE SINGOLE TRASLAZIONI CHE GARANTISCONO L'ESATTEZZA DEI > > RISULTATI > > MA L'ULTIMA, CHE ANNULLANDO IL TERMINE NOTO, SOMMATA ALLE ALTRE DA' NON > > SOLO LA RADICE ESATTA, MA ANCHE LA RIDOTTA ESATTA. (Come indicato piy > > avanti.) > > Corregga questa Sua idea sbagliata! > > Vede, quando lei calcola una traslazione, in effetti calcola i coefficienti > di un nuovo polinomio, con le stesse radici del primo, ma traslate. > Nel calcolo dei nuovi coefficienti si introducono degli errori di calcolo, > e di conseguenza il nuovo polinomio avra' radici solo APPROSSIMATIVAMENTE > traslate di k rispetto al polinomio originario. > Di conseguenza la radice zero dell'ultimo polinomio, con termine noto nullo, > ha (si') zero come radice esatta, ma questa e' solo APPROSSIMATIVAMENTE, la > somma delle traslazioni a partire dalla radice corrispondente dell'equazione > originaria, quella che si vuole risolvere. L'ULTIMA TRASLZIONE, ANNULLANDO IL TERMINE NOTO, AGGIUSTA TUTTO. > > Quindi intendo la sua affermazione nel seguente senso: > "L'ULTIMA traslata ha per soluzione esatta zero e da' la ridotta > esatta dell'ULTIMA traslata". OGNI TRASLAZIONE HA I COEFFICIENTI ESATTI PER DEFINIZIONE (TEOREMA SULLE TRASLAZIONI) (SE IL COMPUTER NON COMMETTE ERRORI) E QUINDI ANCHE L'ULTIMA TRASLAZIONE E' PRATICAMENTE ESATTA. LEI HA RAGIONE IN VIA TEORICA SE SI TIENE CONTO DELLA CAPACITA' DEI COMPUTERS CHE PUO' ESSERE AMPLIATA SECONDO IL GRADO DI PRECISONE DESIDERATO. FINALMENTE HO CAPITO CHE LEI SI RIFERISCE AI COMPUTERS MA NON AL MIO ALGORITMO CHE E' MATEMATICAMENTE ESATTO. AVENDO CAPITO QUESTO HO CAPITO ANCHE CHE LEI HA CAPITO IL MIO ALGORITMO E QUINDI ABBIAMO RAGIONE ENTRAMBI IN QUANTO CI RIFERIAMO LEI AI COMPUTER, IO ALL'ALGORITMO. QUESTO RISTABILIZZA LA MIA STIMA PER LEI. IO DIFENDO IL MIO ALGORITMO E NON I COMPUTERS. PER GLI USI CORRENTI LA PRECISIONE DEI NORMALI COMPUTERS BASTA. LA SEMPLICITA' DEL MIO ALGORITMO MI PERMETTE DI REGALARE UN PROGRAMMA SUFFICIENTE PER I NORMALI USI. > > E, ripeto, questo non fornisce alcuna indicazione sull'errore che si commette > approssimando la radice che si cerca con la somma delle traslazioni. > Corregga questa Sua idea sbagliata! > > I matematici sono soliti poi fornire Dimostrazioni rigorose delle proprie > affermazioni. > > > Proprio in questo consiste l'importanza del mio algoritmo. > > (riferendosi alla "esattezza" della riduzione). Naturalmente questa > affermazione perde di significato se la ridotta non e' piu' esatta. > > > Sarebbe stato bene precisare Che Bellia nella prima pagina del suo sito > > dice: "Algoritmo per il calcolo delle radici reali delle equazioni di > > grado "n" > 1.", e che mai si h contrapposto ad Abel o a Galois, grandi > > perchi morti e maltrattati certamente in vita. > > (riferendosi credo alla mia lettera a Famiglia Cristiana). > Nella mia risposta a Famiglia Cristiana mi riferisco naturalmente al testo > dell'articolo, e a quello che un lettore generico puo' essere indotto a > pensare leggendolo. Lei non puo' negare che dal testo dell'articolo si > e' indotti ad evincere che Lei e' riuscito dove hanno fallito illustri > matematici del passato. Cito testualmente dall'articolo: "e sostiene di avere > sbaragliato i migliori cervelli che nei secoli si sono arrovellati intorno > a questo interrogativo". Puo' essere colpa della giornalista, non dico > di no, in effetti la lettera al Direttore di Famiglia Cristiana critica in > modo particolare il modo con cui la stampa si pone di fronte a questioni > riguardanti la Matematica. NON SCORAGGIAMO CHI FA LO SFORZO DI OCCUPARSI DI MATEMATICA. SI POTRANNO CORREGGERE GLI ERRORI CONTINUANDO AD AVERE LA STAMPA AMICA. > > > "la convergenza dell'algoritmo di Bellia (come d'altra parte anche del > > metodo > > di Newton) non e' garantita, come si puo' verificare ad esempio > > prendendo l'equazione x^5 - x - 1 =3D 0, la cui unica soluzione reale non > > viene trovata dal programma di Bellia." > > [estratto dalla mia lettera a F.C.] > > > > L'ultima Sua osservazione h palesemente non vera e Lei, senza avere > > evidentemente capito il mio algoritmo, la sostiene con l'argomento > > non matematico della defaillance del programma. > > Perche' dice "non vera"? Lei mi ha gentilmente fornito il Suo programma, > e con il Suo programma non sono riuscito a trovare la soluzione di tale > equazione. Non solo, mi sono anche basato sul testo da Lei fornitomi del > suo algoritmo, che penso proprio di aver capito... Il motivo per cui > il suo algoritmo fallisce in quel caso e' anche spiegato un po' piu' > dettagliatamente alla pagina > che spero > Lei abbia letto. Lei pensa di aggirare il problema cosi': > > Semplicemente facendo una o piy traslazioni, di valore ad es. k =3D 1 fino > > a che i coefficienti divengano "non nulli" e poi sommando tali valori di k > > agli altri k trovati. > Lei sa bene che questo e' solo un palliativo, e che ci sara' sempre la > possibilita' che esistano equazioni che nemmeno cosi' verranno risolte. > Sara' solo piu' difficile trovarli. Non si vuole un algoritmo che > "probabilmente" funziona, ma un algoritmo che, eventualmente sotto > opportune ipotesi chiaramente specificate, "sicuramente" funziona. > Invece di fare continue modifiche al suo algoritmo, dovrebbe chiedersi il > vero motivo per cui non funziona in certi casi. IO NON HO FATTO MODIFICHE AL MIO ALGORITMO MA AL PROGRAMMA. SONO QUESTE SUE OSSERVAZIONI "TRASLATE" E QUINDI FORVIANTI CHE HANNO RITARDATO LA COMPRENSIONE DEL FATTO CHE LEI SI RIFERISCE AL PROGRAMMA ED IO ALL'ALGORITMO > > > Resta peraltro la Sua affermazione, da Professore di Matematica, che la > > convergenza del metodo di Newton non h garantita. > > > > Siccome con il mio algoritmo ad ogni ciclo ci si arresta quando il > > termine noto h divenuto nullo, la "ridotta" ricavata h tale che > > moltiplicata per (x - x1) d` esattamente l'equazione originaria e > > quindi, > > tale ridotta, non porta in si alcun errore.(C.V.D.) > > Lei deve correggere questo Suo errore di valutazione oppure > > dimostrarmelo con i numeri alla mano o in altro modo matematico. > > Lei qui fa confusione tra due questioni ben distinte: "la convergenza del > metodo di Newton non e' garantita" significa che, anche se si lavorasse in > aritmetica esatta (cioe' senza gli errori di arrotondamento dei computer), > la successione infinita x_0, x_1,... delle iterate puo' non convergere ad > una soluzione dell'equazione. E' proprio quello che succede nel caso di > x^5 - x - 1 =3D 0. IL PROGAMMA (E NON L'ALGORITMO) DEFINITIVO AGGIUSTERA' TUTTO. LEI CONTINUA A FARMI L'ESAME SUL PROGRAMMA E NON SULL'ALGORITMO. SE L'AVESSI CAPITO MI SAREI RITIRATO DALL'ESAME IN QUANTO IL MIO PROGRAMMA NON E' ANCORA A PUNTO. LO SARA' QUANDO IL NOSTRO DIBATTITO SARA' CONCLUSO ED AVRO' IL TEMPO NECESSARIO. > Lei parla invece dell'errore finale (in caso di convergenza, beninteso), e > si applicano le considerazioni gia fatte in precedenza in questa mail. > > > Buona fede vorrebbe che Lei dissipasse dalla mente del Direttore di Famiglia > > Cristiana il dubbio che Bellia sia un pressapochista, cosa che verra` smentita > > dall'evoluzione della questione, dato che non sono minimamente influenzabile > > da attacchi emotivi, piy che scientifici. > > Il fatto e' che io penso prorio che lei sia un pressapochista, certo posso > sbagliarmi, ma non credo che la cosa verra' smentita dall'evoluzione della > questione. IL MIO PRESSAPPOCHISMO DIPENDE DAL FATTO CHE CERCO DI NON PERDERMI NELLE STERILI ASTRAZIONI IN QUANTO VIVO PIENAMENTE NELLA REALTA' IN CUI IL MEGLIO E' NEMICO DEL BENE. > > > Si ricordi, Professore, che non esiste la Scienza autoritaria ma singoli > > Esseri Umani che con le loro ricerche, umilmente, creano il tessuto > > culturale dell'Umanit`. > > Sono perfettamente d'accordo, comunque continuerei dicendo che quei singoli > Esseri Umani dovrebbero anche tenere conto (in modo critico) di cosa hanno > fatto gli Esseri Umani che li hanno preceduti. SE SI DOVESSERO GIUDICARE DA QUELLO CHE CI HANNO LASCIATO SUL PIANO DELLA VITA PRATICA E AVESSERO DEDICATO UN PO' DEL LORO TEMPO ANCHE AI PROBLEMI DEI COMUNI MORTALI, ABBANDONANDO LE LUCIFERICHE TORRI D'AVORIO, NOI OGGI FORSE AVREMMO UN PO' MINORI CONESCENZE ASTRATTE E PIU' VIVIBILITA'. > Colgo l'occasione per consigliarle un testo di Analisi Numerica, ce ne sono > tanti, ad esempio: > V. Comincioli, Analisi Numerica, Metodi Modelli Applicazioni, McGraw Hill, > Milano (1990). HO ALTRI OBIETTIVI PRESSANTI E LO SCOPO DELLA MIA VITA NON E' LA MATEMATICA VISTO CHE VE NE SONO ALTRI BRAVI CHE IN TEMPO UTILE HANNO SCELTO QUESTA VIA. > Se vuole essere convincente, dovra' ribattere "dall'interno", cioe' conoscendo > quello che gia esiste nel campo delle soluzioni approssimate di equazioni. > Anche questi testi fanno parte del patrimonio culturale dell'Umanita'. > > > La Scienza appartiene solo a Colui che ha creato il Tutto e che ci ha > > ammonito a non chiamarci Maestri (e tantomeno Professori), in quanto > > solo Lui h il Maestro. > > Rispondo con una citazione dalla Bibbia cara a De Giorgi: > "La Sapienza ama chi la ama e si fa trovare da chi la cerca" > (Prov. 8,17). A CHE SERVE TUTTA LA SAPIENZA SE MANCA LA CARITA? > > > Chi crede di dover correggere, lo faccia con la forza degli argomenti e non > > su base di una assurda presunta Autorit`. > > Penso di averlo fatto. POTEVA FARLO MEGLIO NON MISCHIANDO ALGORITMO E COMPUTERS. > > Cordiali saluti, > > Maurizio Paolini