1 00:00:05,000 --> 00:00:10,000 Frecce e aquiloni nel cielo della matematica 2 00:00:10,000 --> 00:00:13,000 La tassellazione di Penrose 3 00:00:13,000 --> 00:00:16,000 (http://frecceaquiloni.dmf.unicatt.it/) 4 00:00:18,000 --> 00:00:23,000 A. Musesti - M. Paolini 5 00:00:28,000 --> 00:00:31,000 Dipartimento di Matematica e Fisica 6 00:00:31,000 --> 00:00:34,000 Università Cattolica - Brescia 7 00:00:38,000 --> 00:00:42,000 Realizzato con www.povray.org 8 00:00:55,000 --> 00:01:01,000 La tassellazione di Penrose è un modo NON PERIODICO per riempire il piano 9 00:01:01,000 --> 00:01:07,000 utilizzando due forme: AQUILONE (piastrelle chiare) e FRECCIA (piastrelle colorate) 10 00:01:07,000 --> 00:01:13,000 In verità la peculiarità di questa tassellazione sta nella proprietà di 11 00:01:13,000 --> 00:01:19,000 APERIODICITA' delle due forme: con esse NON E' POSSIBILE costruire riempimenti PERIODICI 12 00:01:19,000 --> 00:01:23,000 Vedremo in seguito cosa si intende per TASSELLAZIONE PERIODICA 13 00:01:23,000 --> 00:01:27,000 e dovremo introdurre dei VINCOLI DI ACCOSTAMENTO 14 00:01:27,000 --> 00:01:30,000 per garantire la proprietà di aperiodicità 15 00:01:30,000 --> 00:01:35,000 costruzione di 'freccia' e 'aquilone' 16 00:01:36,000 --> 00:01:42,000 I due tasselli 'aquilone' e 'freccia' si possono ottenere a partire da un 17 00:01:42,000 --> 00:01:48,000 decagono regolare di lato 1 e raggio 1,618 circa (rapporto aureo) 18 00:01:48,000 --> 00:01:52,000 secondo la costruzione descritta nell'animazione 19 00:01:55,000 --> 00:02:01,000 curioso: incontriamo l'onnipresente RAPPORTO AUREO 20 00:02:05,000 --> 00:02:10,000 questa è la FRECCIA 21 00:02:13,000 --> 00:02:18,000 e questo è l'AQUILONE 22 00:02:20,000 --> 00:02:25,000 tassellazione periodica 23 00:02:25,000 --> 00:02:31,000 E' piuttosto facile immaginare un modo per riempire il piano con le due piastrelle: 24 00:02:31,000 --> 00:02:37,000 per come sono state costruite, queste si possono accostare 25 00:02:37,000 --> 00:02:43,000 in modo da formare un rombo (di lato 1,618...) 26 00:02:43,000 --> 00:02:49,000 Però in questo modo si ottiene un riempimento PERIODICO 27 00:02:49,000 --> 00:02:55,000 si possono infatti 'traslare' le piastrelle in varie direzioni, come mostra l'animazione, 28 00:02:55,000 --> 00:03:01,000 ottenendo un risultato indistinguibile dalla situazione iniziale 29 00:03:05,000 --> 00:03:11,000 Per avere una tassellazione PERIODICA ci vogliono almeno due traslazioni in direzioni diverse 30 00:03:11,000 --> 00:03:17,000 con tale proprietà di invarianza 31 00:03:25,000 --> 00:03:31,000 Ci sono altre simmetrie per una tassellazione fatta di rombi, come le rotazioni di 180 gradi 32 00:03:35,000 --> 00:03:41,000 Queste però non corrispondono a simmetrie della nostra tassellazione periodica 33 00:03:45,000 --> 00:03:51,000 e infatti i colori si posizionano diversamente, e non riproducono più la disposizione iniziale 34 00:04:06,000 --> 00:04:11,000 Attenzione: le simmetrie devono coinvolgere TUTTA la tassellazione, non singole piastrelle 35 00:04:11,000 --> 00:04:16,000 Per questa tassellazione otteniamo il gruppo di simmetrie che i cristallografi chiamano "cm". 36 00:04:16,000 --> 00:04:20,000 Si possono ottenere tutte le (infinite) simmetrie combinando due traslazioni 37 00:04:20,000 --> 00:04:24,000 ed una riflessione rispetto ad una retta verticale 38 00:04:25,000 --> 00:04:30,000 Altre scelte dei "generatori" sono beninteso possibili 39 00:04:30,000 --> 00:04:35,000 La rotazione di 180 gradi rispetto ad un rombo invece non va bene! 40 00:04:35,000 --> 00:04:40,000 A meno che non si consideri una tassellazione fatta di soli rombi, 41 00:04:40,000 --> 00:04:45,000 ottenendo il gruppo di simmetrie "cmm" 42 00:04:55,000 --> 00:05:00,000 imposizione dei vincoli di accostamento 43 00:05:00,000 --> 00:05:06,000 Per impedire questa soluzione periodica possiamo sagomare le piastrelle come le tessere di un puzzle 44 00:05:06,000 --> 00:05:09,000 come mostrato nell'animazione 45 00:05:12,000 --> 00:05:18,000 D'ora in avanti immagineremo sempre le piastrelle dotate di tali vincoli, anche quando non visualizzati 46 00:05:24,000 --> 00:05:29,000 proviamo... e riproviamo 47 00:05:30,000 --> 00:05:36,000 Ora non è più possibile accostare l'aquilone e la freccia per formare un rombo, 48 00:05:36,000 --> 00:05:42,000 tuttavia sembra ancora possibile riempire (per tentativi) il piano 49 00:05:59,000 --> 00:06:05,000 Ma siamo sicuri che sia VERAMENTE possibile riempire tutto senza lasciare interstizi? 50 00:06:07,000 --> 00:06:13,000 Il procedimento che descriveremo fornirà un modo operativo per farlo 51 00:06:13,000 --> 00:06:18,000 piastrelle spezzate 52 00:06:18,000 --> 00:06:23,000 La prima operazione consiste nel ROMPERE le piastrelle in modo da formare due triangoli isosceli 53 00:06:23,000 --> 00:06:29,000 AQUILONE: due triangoli isosceli acuti 54 00:06:29,000 --> 00:06:35,000 FRECCIA: due triangoli isosceli ottusi 55 00:06:38,000 --> 00:06:43,000 triangoli aurei 56 00:06:43,000 --> 00:06:49,000 L'animazione mostra che i triangoli ottenuti hanno i lati che stanno tra loro nel rapporto AUREO 57 00:06:51,000 --> 00:06:57,000 Triangoli acuti (aquilone): base = 1, lato = 1,618... 58 00:07:03,000 --> 00:07:08,000 Triangoli ottusi (freccia): lato = 1, base = 1,618... 59 00:07:08,000 --> 00:07:13,000 suddivisione 60 00:07:26,000 --> 00:07:32,000 L'idea è di suddividere i pezzi triangolari in copie più piccole di loro stessi 61 00:07:43,000 --> 00:07:47,000 Triangoli acuti: due triangoli acuti e un triangolo ottuso 62 00:07:47,000 --> 00:07:55,000 Triangoli ottusi: un triangolo ottuso e uno acuto 63 00:07:58,000 --> 00:08:03,000 deflazione inflazione 64 00:08:04,000 --> 00:08:07,000 Mettiamo in pratica il procedimento... 65 00:08:07,000 --> 00:08:12,000 Si inizia con una qualsiasi disposizione iniziale (assioma), 66 00:08:12,000 --> 00:08:18,000 ad esempio un decagono con 5 aquiloni 67 00:08:19,000 --> 00:08:25,000 Ora si applica il processo di suddivisione su ogni triangolo ottenendo una suddivisione più fitta 68 00:08:27,000 --> 00:08:33,000 Osserviamo che i nuovi triangoli si dispongono in modo da ricomporre frecce ed aquiloni 69 00:08:35,000 --> 00:08:39,000 Infine rigonfiamo tutto in modo da avere piastrelle della dimensione originale 70 00:08:39,000 --> 00:08:42,000 e ripetiamo il procedimento una seconda volta 71 00:08:43,000 --> 00:08:47,000 Ora ci sono anche alcuni triangoli ottusi da suddividere 72 00:08:49,000 --> 00:08:55,000 I vincoli di accostamento tra i tasselli risultano rispettati da questo procedimento 73 00:08:56,000 --> 00:08:59,000 Di nuovo rigonfiamo tutto per avere piastrelle della dimensione iniziale 74 00:09:00,000 --> 00:09:03,000 Terza iterazione... 75 00:09:20,000 --> 00:09:23,000 Quarta... 76 00:09:33,000 --> 00:09:39,000 Si è formato un decagono centrale uguale alla configurazione da cui siamo partiti! 77 00:09:40,000 --> 00:09:43,000 Quinta iterazione... 78 00:10:00,000 --> 00:10:03,000 Sesta... 79 00:10:15,000 --> 00:10:18,000 Settima... 80 00:10:27,000 --> 00:10:30,000 Ottava... 81 00:10:33,000 --> 00:10:39,000 Possiamo continuare indefinitamente piastrellando un'area sempre più estesa 82 00:10:44,000 --> 00:10:50,000 Ecco il risultato dopo nove iterazioni 83 00:10:50,000 --> 00:10:56,000 Abbiamo in definitiva un procedimento per tassellare tutto il piano (rispettando i vincoli) 84 00:10:59,000 --> 00:11:04,000 simmetrie della tassellazione 85 00:11:05,000 --> 00:11:10,000 A causa della scelta iniziale (decagono con 5 aquiloni) la piastrellatura risultante 86 00:11:10,000 --> 00:11:16,000 sarà dotata di simmetrie rotazionali (rotazioni di 72 gradi) 87 00:11:22,000 --> 00:11:28,000 e anche di simmetrie assiali (riflessioni rispetto a cinque rette passanti per il centro) 88 00:11:28,000 --> 00:11:34,000 come suggeriscono alcuni dei movimenti che vedete 89 00:11:40,000 --> 00:11:46,000 Ci sono esattamente 10 simmetrie, che insieme formano il gruppo diedrale "D5" (simmetrie di un pentagono) 90 00:11:48,000 --> 00:11:55,000 Questo gruppo può essere generato da una rotazione di 72 gradi... 91 00:11:55,000 --> 00:12:02,000 ...e da una riflessione rispetto ad una retta opportuna per il centro 92 00:12:12,000 --> 00:12:17,000 uccelli... e rettili 93 00:12:17,000 --> 00:12:23,000 Possiamo deformare un po' il contorno di FRECCIA e AQUILONE in modo da ottenere forme di fantasia 94 00:12:23,000 --> 00:12:26,000 sullo stile dei disegni di Escher 95 00:12:32,000 --> 00:12:35,000 Utilizziamo le nuove forme per riempire il piano... 96 00:12:36,000 --> 00:12:42,000 Il risultato è comunque strutturalmente lo stesso della tassellazione con FRECCE ed AQUILONI 97 00:13:10,000 --> 00:13:16,000 Ecco il risultato dopo cinque iterazioni della tecnica di deflazione/inflazione 98 00:13:16,000 --> 00:13:21,000 rombi grassi, rombi magri 99 00:13:21,000 --> 00:13:26,000 Una alternativa interessante è invece costituita da due rombi diversi scelti opportunamente 100 00:13:27,000 --> 00:13:31,000 C'è comunque una stretta parentela con Freccia e Aquilone, come mostrato nell'animazione 101 00:13:32,000 --> 00:13:36,000 I rombi saranno spezzati in due triangoli isosceli 102 00:13:36,000 --> 00:13:42,000 uguali, a parte la proporzione, a quelli già incontrati 103 00:14:00,000 --> 00:14:06,000 Si può definire un procedimento di deflazione/inflazione basato su una opportuna suddivisione dei triangoli aurei 104 00:14:06,000 --> 00:14:10,000 analoga a quella utilizzata per Freccia e Aquilone 105 00:14:10,000 --> 00:14:14,000 Dopo sei iterazioni del nuovo procedimento di deflazione/inflazione 106 00:14:14,000 --> 00:14:20,000 a partire da una opportuna configurazione iniziale 107 00:14:20,000 --> 00:14:26,000 otteniamo questa tassellazione in rombi... 108 00:14:55,000 --> 00:15:00,000 la tassellazione originale di Penrose 109 00:15:00,000 --> 00:15:06,000 Roger Penrose ha provato a suddividere un grosso pentagono in 6 pentagoni più piccoli 110 00:15:06,000 --> 00:15:10,000 di lato pari al quadrato del rapporto aureo rispetto al pentagono grande 111 00:15:10,000 --> 00:15:14,000 Iterando il suo procedimento un po' di volte rimangono degli interstizi 112 00:15:14,000 --> 00:15:18,000 Alcuni di questi hanno forma pentagonale, e quindi verranno inclusi nel procedimento di suddivisione, 113 00:15:18,000 --> 00:15:24,000 altri invece richiedono forme diverse per essere riempiti: rombo, corona e stella 114 00:15:24,000 --> 00:15:30,000 I tre colori utilizzati per i pentagoni servono a distinguere i vincoli di accostamento 115 00:15:30,000 --> 00:15:33,000 che costringono ad ottenere una tassellazione non periodica. 116 00:15:33,000 --> 00:15:39,000 In questo modo si ottiene un insieme di 6 tasselli che verificano la proprietà di aperiodicità 117 00:15:39,000 --> 00:15:48,000 A tutt'oggi non è noto se ci sia una singola piastrella per cui esistano solo tassellazioni non periodiche! 118 00:15:50,000 --> 00:15:54,000 Frecce e aquiloni nel cielo della matematica 119 00:15:54,000 --> 00:15:58,000 Nel 1974 Roger Penrose ha ideato le affascinanti tassellazioni che da lui prendono il nome 120 00:15:58,000 --> 00:16:02,000 In esse si mescolano matematica, geometria, fisica e arte in un intreccio sorprendente 121 00:16:02,000 --> 00:16:06,000 La realizzazione di questa breve animazione è stata una sfida impegnativa ma divertente.