<\body> <\make-title> <\address> Un excursus elementare sulla cicloide (dmf.unicatt.it) Vogliamo presentare un percorso di problemi apparentemente piuttosto diversi tra di loro, ma che in realtà condividono la stessa soluzione: la >. Il primo dei 5 problemi è ben noto nella letteratura matematica, ed ha di fatto dato origine ad una intera branca della matematica, il . Qui però si vuole arrivare alla soluzione del problema iniziale (ricerca della cosiddetta ) facendo uso solo di strumenti elementari e un po' di calcolo differenziale, oltre che di un po' di nozioni di e sfruttando il principio di di Maupertuis. Si può quindi cercare di dimostrare l'equivalenza dei vari problemi proposti (nell'ordine) per giungere quindi alla determinazione della brachistocrona. \; \; Il problema è classico: si tratta di determinare la forma ottimale per uno scivolo che colleghi due punti A e B posti a quote differenti in modo che un oggetto lasciato scivolare nel punto A raggiunga B nel minor tempo possibile. Immaginiamo di avere condizioni ideali di assenza di attrito e di lavorare nel campo gravitazionale terrestre nell'approssimazione piana (accelerazione di gravit>à costante e rivolta verso il basso). \; Il fiume Brachi è perfettamente rettilineo ed è circondato da una nebbia perenne che si infittisce man mano che ci si avvicina al fiume (che supponiamo di larghezza trascurabile). \ In particolare la visibilità è legata alla distanza dal fiume dalla relazione <\equation*> visibility = Da un punto A ad una certa distanza dal fiume si vuole raggiungere il punto B posto sul Brachi nel tempo minore possibile tenendo conto che la velocità massima è direttamente proporzionale alla visibilità. \ Naturalmente si suppone che il raggio di visibilità sia piccolo rispetto alla distanza dal fiume. <\with|par-mode|center> \; I paesi di Brac e di Bric sono separati da un grande muro. \ Solo che in realtà non è il muro che è grande, quanto gli oggetti che gli si avvicinano che si rimpiccioliscono man mano. \ Il muro magico ha infatti il potere di rimpicciolire gli oggetti di un fattore <\equation*> factor = dove è la distanza dal muro. \ L'effetto per chi gli si avvicina è come se per lui le distanze si amplificassero di un fattore >>. \ Ci si chiede quale sia il percorso più corto (geodetica) per raggiungere da A il muro nel punto B; oppure quale sia il percorso più corto per andare da un punto del muro ad un altro punto del muro. <\with|par-mode|center> \; Il pianeta Brach è molto particolare. \ Infatti la sua superficie, che immaginiamo piatta, esercita un campo gravitazionale il cui potenziale è: <\equation*> \(h) = e quindi l'accelerazione di gravità è diretta verso il basso e la componente verticale vale >>. Vogliamo determinare la traiettoria di un sasso lanciato orizzontalmente con una certa velocità iniziale da una certa altezza. <\with|par-mode|center> \; Cerchiamo la curva descritta da un catarifrangente fissato sul cerchione della ruota di una bicicletta mentre questa si muove (lungo una pista orizzontale e rettilinea). Questa curva è nota fin dall'antichità con il nome di . \; La risoluzione diretta del primo problema (lo scivolo) richiede strumenti matematici non elementari (calcolo delle variazioni ed equazione di Eulero-Lagrange). \ Dimostreremo piuttosto che tutti i problemi proposti sono tra loro , ovvero, nonostante l'apparente diversità, sono in realtà equivalenti tra di loro e quindi hanno la stessa soluzione. \ In altre parole la soluzione del primo problema è la stessa di quella dell'ultimo (rovesciata); la brachistocrona è quindi una cicloide rovesciata. \; Utilizziamo la legge di conservazione dell'energia. Senza perdita di generalità possiamo assumere che la massa dell'oggetto sia e scegliamo la quota iniziale come quota zero, quindi la quota finale avrà un valore negativo. Per semplificare al massimo, assumeremo anche che l'accelerazione di gravità sia unitaria. Di conseguenza l'energia totale dell'oggetto all'istante iniziale è nulla poiché la velocità iniziale è nulla. \ Per la conservazione dell'energia avremo quindi <\equation*> v = -h ovvero >. \ Questa è esattamente la velocità (massima) possibile indicata nel problema 2, dopo aver scambiato con , e quindi i due problemi hanno la stessa soluzione (capovolta). \; Non c'è molto da controllare, infatti avvicinandoci al muro del problema 3 la dimensione del nostro per misurare le distanze diventa più piccolo, il che significa che se ci muoviamo ad una velocità costante avremo una velocità per un osservatore esterno esattamente uguale a quella massima indicata nel problema 2 (a parte un eventuale fattore moltiplicativo, che però non influisce nel risultato finale). \ Quindi la traiettoria ottimale, che corrisponde ad un percorso di tempo minimo nel caso di velocità costante del problema 3 è la stessa di quella cercata per il problema 2. Osserviamo per inciso che il fatto di diventare sempre più piccoli corrisponde al fatto che l'unità di misura usata da un osservatore esterno diventa per noi sempre più grande. Questo da origine al fattore >> come fattore moltiplicativo nel misurare le distanze (soggettive). \; Questo è il passaggio più delicato, e infatti dovremo fare uso del noto (che non dimostreremo). \ In una delle sue formulazioni questo principio asserisce che un corpo in movimento sotto la sola azione della forza gravitazionale (in un campo gravitazionale conservativo, ovvero dotato di un ) segue una traiettoria che minimizza una quantità chiamata , che in un piccolo tratto del moto si calcola come prodotto s> dove è la velocità scalare e s> è il piccolo spostamento effettuato. Nel nostro caso la velocità scalare la possiamo calcolare utilizzando il principio di conservazione dell'energia totale del corpo (come in precedenza assumiamo che il corpo abbia massa ): <\equation*> E = v -\(h)= v - Se (per semplicità) ci limitiamo alle traiettorie con energia totale nulla (), otteniamo: <\equation*> v = > quindi l' da minimizzare ha punto per punto la stessa espressione >*\s> che ha la distanza tra due punti vicini >*\s> nel problema 3. \ In altre parole minimizzare l'azione nel problema 4 è lo stesso che minimizzare la lunghezza del percorso nel problema 3, e la soluzione è quindi la stessa! Osserviamo comunque che anche se la traiettoria del sasso del problema 4 è la stessa della traiettoria dell'oggetto sullo scivolo del problema 1, l'equazione del moto è molto diversa... si può infatti ricavare che le velocità dei corpi nei due problemi sono inversamente proporzionali una all'altra; in particolare la velocità in cima allo scivolo è zero, mentre la velocità del sasso quando raggiunge il suolo del pianeta Brach diventa infinita (la forza di attrazione del pianeta è infinita all'altezza del suolo). \; Ora il problema 4 è stato ricondotto di fatto ad una ``semplice'' equazione differenziale del secondo ordine, che ci permetterebbe di calcolare l'equazione del moto del sasso. Osserviamo che l'accelerazione di gravità del pianeta è sempre diretta verso il basso, e dipende solo dalla quota che per convenienza indicheremo ora con anziché . Perciò la componente orizzontale della velocità del sasso >> (usiamo il puntino per indicare la derivazione rispetto al tempo, come usano i fisici) sarà costante, diciamo >=V>. Per la componente verticale del moto abbiamo invece una equazione per la derivata seconda >> che dovrà coincidere con l'accelerazione di gravità: <\equation*> >= ->. Siccome siamo interessati alla traiettoria piuttosto che alla legge oraria, in realtà vogliamo ottenere una equazione per la derivata seconda > della quota rispetto all'ascissa e non rispetto al tempo. Per fortuna però il legame lineare tra l'ascissa e il tempo (velocità orizzontale costante) permette di legare in modo molto semplice le quantità > e >>. \ Il fattore > di proporzionalità tra le due ha solo un effetto di riscalatura orizzontale, quindi scegliamo per semplicità una velocità orizzontale =1>, da cui: <\equation*> y=->. Purtroppo questa equazione differenziale non è immediata da risolvere, però noi siamo ``solo'' interessati a dimostrare l'equivalenza tra i problemi 4 e 5; è quindi sufficiente dimostrare che la traiettoria del catarifrangente sulla ruota della bicicletta ha una equazione che verifica la stessa equazione differenziale! Nel problema 5 possiamo determinare la posizione del punto fissato sulla circonferenza in funzione della distanza percorsa dalla ruota, ovvero dell'angolo di rotazione (fissando a il raggio della ruota). Si ha: <\eqnarray*> ||)>|-sin \>|>|)>|>|>>> \; Dalla prima equazione si può ricavare la derivata di rispetto ad > e facendo il reciproco si ha la derivata di > rispetto a : <\equation*> \|\x>=>=)> Usando la regola di derivazione di funzioni composte si ottiene infine =->> il fattore moltiplicativo che differenzia questa formula da quella soddisfatta nel problema non costituisce un problema reale (basta cambiare il raggio della ruota). <\initial> <\collection> <\references> <\collection> > > > > > > > > > > > <\auxiliary> <\collection> <\associate|toc> |math-font-series||1I problemi> 1.1Lo scivolo 1.2Nebbia sul fiume 1.3La grande muraglia 1.4Uno strano pianeta 1.5La ruota della bici |math-font-series||2Le soluzioni> 2.1Equivalenza tra i problemi 1 e 2 2.2Equivalenza tra i problemi 2 e 3 2.3Equivalenza tra i problemi 3 e 4 2.4Equivalenza tra i problemi 4 e 5