Fisica matematica 2025-2026

Dispensa

versione del 31 ottobre 2025

Bibliografia

P.G. Ciarlet, Mathematical Elasticity, Vol. I: Three-Dimensional Elasticity, North-Holland, Amsterdam, 1988
B. Dacorogna, Direct methods in the calculus of variations, Second edition, Springer, 2008
H. Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer, 2011.

Diario delle lezioni

  1. Lezione del 29 settembre 2025
    Introduzione al calcolo delle variazioni. Punti critici. Lemma di DuBois-Reymond. Equazioni di Eulero-Lagrange. Conservazione dell'hamiltoniana.
  2. Lezione del 30 settembre 2025
    Esempio: superficie minima di rivoluzione. Esempio della brachistocrona. Equazioni di Eulero-Lagrange nel caso multidimensionale.
  3. Lezione del 6 ottobre 2025
    Teorema sulle Equazioni di Eulero-Lagrange. Esempi di laplaciano e p-laplaciano. Problema misto dell'elasticità lineare. Tensore elastico. Energia di deformazione. Spostamenti rigidi infinitesimi.
  4. Lezione del 7 ottobre 2025
    Principio di minimo dell'energia potenziale e suo inverso. Mancanza di esistenza nei problemi variazionali. Convergenza debole e sue proprietà.
  5. Lezione del 13 ottobre 2025
    Compattezza in dimensione infinita. Convergenza debole e spazi riflessivi. Spazi di Lebesgue. Esempi di convergenza debole in spazi di Lebesgue. Riflessività. Derivata debole.
  6. Lezione del 14 ottobre 2025
    Esempi su spazi di Sobolev. Spazi di Sobolev con condizioni al contorno. Disuguaglianza di Poincaré. Immersioni di Sobolev, Rellich, Morrey. Funzioni semicontinue inferiormente. Metodo diretto del calcolo delle variazioni.
  7. Lezione del 20 ottobre 2025
    Funzioni convesse e proprietà. Semicontinuità debole e convessità. Teorema sulla wlsc nel caso convesso. Disuguaglianza di Jensen. Coercitività. Esistenza del minimo col metodo diretto.
  8. Lezione del 27 ottobre 2025
    Ipotesi sugli integrandi: funzioni di Carathéodory e convessità nei gradienti. Esempi con laplaciano e p-laplaciano. Disuguaglianza di Korn nel caso omogeneo.
  9. Lezione del 28 ottobre 2025
    Disuguaglianza di Korn nel caso generale (solo enunciato). Disuguaglianza di Korn per il problema misto. Teorema di esistenza dei minimi per il problema misto dell'elasticità lineare. Convessità stretta e unicità. Il caso non omogeneo. Semicontinuità debole nel caso dipendente sia dalla funzione che dal suo gradiente (solo enunciato). Breve ripasso di cinematica dei continui.