Alcuni risultati degli esercizi dai temi d'esame
(in ordine sparso)
Diario delle lezioni
Lezione del 4 marzo 2026
Modelli epidemiologici. Modello SIS. Modello SIR. Picco massimo dei contagi. Modello SIR con GeoGebra.
Lezione dell'11 marzo 2026
Sistema SIR nel piano delle fasi. Sistemi di equazioni differenziali
ordinarie del primo ordine in forma normale. Sistemi autonomi. Esempio
di soluzione non unica: pennello di Peano. Esempio di soluzione non
globale. Esistenza di soluzioni globali. Riduzione al primo
ordine. Orbite e traiettorie. Spazio delle fasi e ritratto di
fase. Esempio unidimensionale.
Lezione del 13 marzo 2026
Traslazione temporale nei sistemi autonomi. Semigruppo associato a un
sistema differenziale con esempi. Semigruppi astratti e
invertibili. Costruzione di un sistema differenziale a partire da un
semigruppo. Processi e loro proprietà. Esempio unidimensionale.
Sistemi topologicamente equivalenti ed esistenza globale.
Lezione del 18 marzo 2026
Soluzioni di equilibrio. Stabilità. Stabilità
asintotica, globale, esponenziale con esempi. Bacino di attrazione. Instabilità sorgente.
Esempio di equilibrio instabile che attrae puntualmente un suo
intorno.
Lezione del 20 marzo 2026
Esempio dell'oscillatore armonico smorzato. Esempio dello smorzatore
lineare. Sistemi differenziali lineari. Esponenziale di matrice e
proprietà. Soluzione dei sistemi lineari a coefficienti costanti. Caso
non omogeneo a coefficienti costanti. Discussione sul caso lineare a
coefficienti non costanti.
Lezione del 25 marzo 2026
Esponenziale di matrice nel caso 2x2: caso diagonalizzabile, non
diagonalizzabile, complesso. Casistica nel piano delle fasi per un
sistema 2x2: nodi, selle, fuochi, centri. Regola di Cartesio. Teorema
tau-delta. Esponenziale dei blocchi di Jordan.
Lezione del 19 marzo 2026
Casi degeneri per un sistema 2x2. Esempi del terzo e quarto ordine.
Teorema sulla stabilità dei sistemi lineari. Condizione necessaria sul segno dei coefficienti.
Lezione del 19 marzo 2026 (recupero)
Matrice di Hurwitz. Criterio di Routh-Hurwitz. Criterio di
Liénard-Chipart. Stabilità dei sistemi non lineari: Teorema di
linearizzazione e dimostrazione della prima parte. Esempi ed esercizi.
Lezione del 1 aprile 2026
Dimostrazione della seconda parte del teorema di linearizzazione.
Posizione iperbolica e teorema di hartman-grobman (solo enunciato). Controesempio
alla linearizzazione. Funzione di Ljapunov: definizione e sua
generalizzazione. Teorema di Ljapunov sulla stabilità.