P.G. Ciarlet, Mathematical Elasticity, Vol. I: Three-Dimensional
Elasticity, North-Holland, Amsterdam, 1988
B. Dacorogna, Direct methods in the calculus of variations, Second
edition, Springer, 2008
H. Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations,
Springer, 2011.
Diario delle lezioni
Lezione del 29 settembre 2025
Introduzione al calcolo delle variazioni. Punti critici. Lemma di
DuBois-Reymond. Equazioni di Eulero-Lagrange. Conservazione
dell'hamiltoniana.
Lezione del 30 settembre 2025
Esempio: superficie minima di rivoluzione. Esempio della
brachistocrona. Equazioni di Eulero-Lagrange nel caso
multidimensionale.
Lezione del 6 ottobre 2025
Teorema sulle Equazioni di Eulero-Lagrange. Esempi di laplaciano e
p-laplaciano. Problema misto dell'elasticità lineare. Tensore
elastico. Energia di deformazione. Spostamenti rigidi infinitesimi.
Lezione del 7 ottobre 2025
Principio di minimo dell'energia potenziale e suo inverso. Mancanza di
esistenza nei problemi variazionali. Convergenza debole e sue
proprietà.
Lezione del 13 ottobre 2025
Compattezza in dimensione infinita. Convergenza debole e spazi
riflessivi. Spazi di Lebesgue. Esempi di convergenza debole in spazi
di Lebesgue. Riflessività. Derivata debole.
Lezione del 14 ottobre 2025
Esempi su spazi di Sobolev. Spazi di Sobolev con condizioni al
contorno. Disuguaglianza di Poincaré. Immersioni di Sobolev,
Rellich, Morrey. Funzioni semicontinue inferiormente. Metodo diretto
del calcolo delle variazioni.
Lezione del 20 ottobre 2025
Funzioni convesse e proprietà. Semicontinuità debole e
convessità. Teorema sulla wlsc nel caso convesso. Disuguaglianza di
Jensen. Coercitività. Esistenza del minimo col metodo diretto.
Lezione del 27 ottobre 2025
Ipotesi sugli integrandi: funzioni di Carathéodory e convessità nei
gradienti. Esempi con laplaciano e p-laplaciano.
Disuguaglianza di Korn nel caso omogeneo.
Lezione del 28 ottobre 2025
Disuguaglianza di Korn nel caso generale (solo
enunciato). Disuguaglianza di Korn per il problema misto. Teorema di
esistenza dei minimi per il problema misto dell'elasticità
lineare. Convessità stretta e unicità. Il caso non
omogeneo. Semicontinuità debole nel caso dipendente sia dalla
funzione che dal suo gradiente (solo enunciato). Breve ripasso di
cinematica dei continui.
Lezione del 3 novembre 2025
Materiali iperelastici.
Indifferenza materiale e non degenericità. Mancanza di convessità
del potenziale per materiali iperelastici. Materiali
isotropi.
Lezione del 4 novembre 2025
Invarianti e valori singolari. Materiali
di Ogden. Matrice dei cofattori. Materiali di
Mooney-Rivlin e loro tensore degli sforzi. Materiali neo-Hookeani.
Cubo di Rivlin.
Lezione del 10 novembre 2025
Conclusione dell'esempio del cubo di Rivlin. Materiali ortotropi,
trasversalmente isotropi e gruppi di simmetria. Invarianti
generalizzati. Definizione e prime proprietà della quasiconvessità.
Lezione dell'11 novembre 2025
Quasiconvessità e debole inferiore semicontinuità. Relazione tra
quasiconvessità e convessità. Esempio del determinante. Convessità
di rango uno. Condizioni di Legendre-Hadamard. Quasiconvessità
implica 1-convessità.
Lezione del 17 novembre 2025
Derivata del determinante. Divergenza nulla del cofattore di un gradiente.
Divergenza nel senso delle distribuzioni. Determinante del gradiente.
Lezione del 18 novembre 2025
Definizione di funzione policonvessa. Esempi di funzioni
policonvesse. Implicazioni tra i vari tipi di
convessità. Policonvessità dei materiali di Ogden. Lemma tipo
Poincaré. Lemma sui cofattori.