Programma:
• Richiami di Algebra e Algebra Lineare: il corso inizia con un breve ripasso dei concetti visti riguardo a gruppi e anelli, spazi vettoriali, matrici su anelli commutativi e determinanti, studio di un’applicazione lineare.
• Moduli su un anello: una volta viste le definizioni e le prime proprietà, si considerano concetti come sottomoduli, omomorfismi, moduli quozienti e somme dirette.
• Alcune importanti classi di moduli: si studiano in particolare moduli finitamente generati, moduli di torsione e moduli liberi.
• Moduli liberi su PID: concentrandosi su questa particolare classe di moduli, si studiano i sottomoduli di un modulo libero su un dominio a ideali principali, considerando l’equivalenza di matrici e i relativi fattori invarianti.
• Moduli finitamente generati su PID: questa parte costituisce il cuore di questo corso. Si prova il teorema fondamentale di struttura per i moduli finitamente generati su un dominio a ideali principali. Si studia anche la decomposizione primaria e il teorema di invarianza.
• Applicazioni del teorema di struttura: si applica il precedente teorema per studiare i gruppi abeliani finitamente generati e le forme canoniche delle matrici.
• Prodotti tensoriali di moduli: si definiscono i prodotti tensoriali tramite le funzioni bilanciate. Si studiano poi varie proprietà di questa costruzione algebrica, considerando in seguito il caso speciale di anelli commutativi e di spazi vettoriali.
• Rappresentazioni e caratteri: si introducono alcuni risultati riguardanti moduli su un’algebra e in particolare si considereranno le algebre gruppali. Verrà quindi introdotto il concetto di carattere di un gruppo. Si studieranno quindi proprietà dei caratteri irriducibili di un gruppo, che definiscono la tavola dei caratteri.
Bibliografia:
• Dispense fornite dal docente sulla piattaforma Blackboard.
• M. Curzio, P. Longobardi e M. Maj, Lezioni di Algebra, Liguori Editore, 1994.
• B. Hartley e T.O. Hawkes, Rings, Modules and Linear Algebra, Chapman & Hall, London-New York, 1980.
• N. Jacobson, Basic Algebra I: Second Edition, Dover Books on Mathematics, 2009.
• I.M. Isaacs, Character Theory of Finite Groups, Dover Books on Mathematics, 2003.